Egzamin testowy ze Wstępu do matematyki, 31.01.2011

Imię i nazwisko

Nazwisko prowadzącego

Egzamin trwa 100 minut. Na pytania należy udzielić odpowiedzi TAK/NIE. Odpowiedź należy zaznaczyć z boku kartki w następujący sposób: zaznaczony □ — odpowiedź brzmi TAK, zaznaczone ◯ — odpowiedź brzmi NIE. Za każdą poprawną odpowiedź otrzymuje się 1 punkt; za każdą błędną −1 punkt; za brak odpowiedzi lub odpowiedź nieczytelną otrzymuje się 0 punktów.

1. Jeśli X ⊂ ℕ to:
□  ◯ (a) ⋃ X = ℕ wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem nieskończonym.
□  ◯ (b) Jeśli X ≠ ∅ jest zbiorem skończonym, to ⋃ X = max{x : x ∈ X}.
□  ◯ (c) Istnieje dokładnie jeden zbiór X taki, że ⋃ X = X.
□  ◯ (d) Istnieje nieskończony zbiór X taki, że ⋃ X = X.
2. Rozważmy następującą formułę: ∃_{z}∀_{x,y}(x ≠ y ⇒ x = z). Czy prawdą jest, że:

□ ◯ (a) Każde dwa niepuste zbiory, w których spełniona jest powyższa formuła, są równoliczne.

□  ◯ (b) Istnieje zbiór nieskończony, w którym spełniona jest powyższa formuła.

□ ◯ (c) Jeśli powyższa formuła jest spełniona w każdym niepustym, skończonym podzbiorze skończonego zbioru X, to jest spełniona w całym zbiorze X.

3. Oceń każde ze zdań:

□ ◯ (a) Czy prawdziwe jest zdanie: „Jeśli a dzieli się przez 5, to z faktu, że a nie dzieli się przez 5 wynika, że a dzieli się przez 7"?

□  ◯ (b) Czy tautologią jest wyrażenie: p ⇒ ((∼ p) ∨ q)?
□  ◯ (c) Czy negacja z implikacją generują wszystkie spójniki logiczne?
□  ◯ (d) Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi: (A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C?
□  ◯ (e) Czy dla dowolnych zbiorów A, B prawdą jest: (A ⊆ B) ⇔ (B = A ∪ (B \ A))?
□  ◯ (f) Czy dla dowolnych zbiorów A, B prawdą jest: (A × B = A × C) ⇒ B = C?

□ ◯ (g) Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwa jest następująca implikacja:

A÷(B÷C) = ∅ ⇒ (A∪B∪C)\(A∩B∩C) = ∅, gdzie X÷Y =^{df} (X\Y)∪(Y \X).

□  ◯ (h) Czy przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych może mieć moc continuum?
□  ◯ (i) Czy zbiór liczb wymiernych ma taką samą moc jak zbiór liczb niewymiernych?
□  ◯ (j) Czy dla każdej funkcji przeciwobraz niepustego zbioru jest niepusty?
□  ◯ (k) Czy przechodnie domknięcie relacji symetrycznej jest relacją symetryczną?

□ ◯ (l) Czy istnieje bijekcja między zbiorem punktów płaszczyzny a zbiorem punktów odcinka otwartego?

□  ◯ (m) Czy relacja r ⊆ ℝ^{2} taka, że (a, b) ∈ r ⇔ a · b ⩾ 0 jest relacją równoważności?
□  ◯ (n) Czy istnieje taki zbiór A, że zachodzi równość P(⋃ A) = A?
□  ◯ (o) Czy istnieje zbiór n-elementowy mający n^{n} podzbiorów?

(verte)

4. Niech P ⊂ ℕ oznacza zbiór liczb parzystych. Niech funkcja f : P(ℕ) → P(ℕ) będzie zadana wzorem: f(A) = A \ P.

□ ◯ (a) Czy funkcja f jest monotoniczna?
□ ◯ (b) Czy zbiór punktów stałych funkcji f jest przeliczalny?
5. Które relacje są prawdziwe:
□ ◯ (a) ℝ^{2} ≤_{m} ℝ^{ℕ}
□ ◯ (b) ℝ^{2} <_{m} ℝ^{ℕ}
□ ◯ (c) ℕ^{ℕ} <_{m} ℝ^{ℕ}
6. Dane są relacje równoważności R_{1}, R_{2} ⊂ X^{2}. Czy prawdą jest, że:
□ ◯ (a) R_{1} ∩ R_{2} jest relacją równoważności?
□ ◯ (b) R_{1} ∪ R_{2} jest relacją równoważności?
□ ◯ (c) X^{2} \ R_{1} jest relacją równoważności?

7. Na zbiorze F = ℕ^{ℕ} określamy relację R następująco:

fRg ⇔ ∃h ∈ F : f ∘ h = g ∘ h.

Czy prawdziwe są zdania:

□ ◯ (a) R jest relacją przechodnią.
□ ◯ (b) R jest relacją częściowego porządku.
□ ◯ (c) R jest zbiorem przeliczalnym.